【概率论与数理统计试题库及答案2】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握基本概念、理解核心定理以及熟练运用各种方法是提升解题能力的关键。为了帮助广大学习者更好地巩固知识、提高应试水平，本文整理了一份“概率论与数理统计试题库及答案2”，涵盖多个典型题目和详细解析，适用于课程复习、考试准备或自学参考。
一、选择题
1. 设随机变量 $ X $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布，则 $ E(X) $ 与 $ D(X) $ 的关系是（ ）
A. $ E(X) = D(X) $
B. $ E(X) > D(X) $
C. $ E(X) < D(X) $
D. 不确定
答案：A
解析： 泊松分布的期望与方差均为 $ \lambda $，因此两者相等。
2. 若事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立，且 $ P(A) = 0.6 $，$ P(B) = 0.4 $，则 $ P(A \cup B) = $（ ）
A. 0.76
B. 0.84
C. 0.90
D. 0.80
答案：B
解析： 因为 $ A $ 与 $ B $ 独立，所以 $ P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 $，故
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.4 - 0.24 = 0.76
$$
但注意题目选项中没有 0.76，正确计算应为
$$
P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - (1 - 0.6)(1 - 0.4) = 1 - 0.4 \times 0.6 = 1 - 0.24 = 0.76
$$
若选项中无此值，可能题目存在误差，建议再次核对。
二、填空题
1. 设 $ X \sim N(0, 1) $，则 $ P(X \leq 1.96) = $ ______。
答案：0.9750
解析： 标准正态分布表中，$ z = 1.96 $ 对应的累积概率为 0.9750。
2. 若 $ X \sim B(n, p) $，则其方差为 ______。
答案：$ np(1-p) $
解析： 二项分布的方差公式为 $ D(X) = np(1-p) $。
三、解答题
1. 设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为
$$
f(x) =
\begin{cases}
kx^2, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & 其他
\end{cases}
$$
求常数 $ k $ 的值，并计算 $ E(X) $。
解：
首先，利用概率密度函数的归一性条件：
$$
\int_{0}^{1} kx^2 dx = 1 \Rightarrow k \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 \Rightarrow k \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow k = 3
$$
接下来，计算期望：
$$
E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 dx = 3 \int_{0}^{1} x^3 dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
$$
答案： $ k = 3 $，$ E(X) = \frac{3}{4} $
2. 设总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，从该总体中抽取一个容量为 $ n $ 的样本，样本均值为 $ \bar{X} $，样本方差为 $ S^2 $。试说明 $ \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} $ 的分布是什么？
解：
由于总体服从正态分布，且样本来自该总体，那么 $ \bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n) $。
而 $ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) $，但当 $ \sigma $ 未知时，用 $ S $ 代替 $ \sigma $，此时统计量
$$
T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}
$$
服从自由度为 $ n-1 $ 的 t 分布。
答案： t 分布，自由度为 $ n-1 $
四、综合题
设某工厂生产的零件长度服从正态分布 $ N(\mu, 0.25) $，现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值为 10.2 cm，试以 95% 的置信水平估计总体均值 $ \mu $ 的置信区间。
解：
已知 $ \sigma^2 = 0.25 \Rightarrow \sigma = 0.5 $，样本容量 $ n = 16 $，样本均值 $ \bar{x} = 10.2 $，置信水平为 95%，对应 $ z_{0.025} = 1.96 $。
置信区间公式为：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.2 \pm 1.96 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{16}} = 10.2 \pm 1.96 \cdot 0.125 = 10.2 \pm 0.245
$$
即置信区间为 $ (9.955, 10.445) $。
答案： 置信区间为 $ (9.955, 10.445) $
五、总结
本试题库涵盖了概率论与数理统计中的基础概念、重要分布、参数估计、假设检验等内容，旨在帮助学习者系统复习并加深对知识点的理解。通过反复练习和分析，可以有效提升逻辑思维能力和实际应用能力。
如需更多题目或更详细的解析，请继续关注后续更新。
