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多项式的除法原理(综合除法)与练习(精品)

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2025-07-09 18:56:58

多项式的除法原理(综合除法)与练习(精品)】在代数学习中,多项式的除法是一个重要的知识点,尤其在求解高次方程、因式分解以及函数分析中有着广泛的应用。其中,综合除法作为一种高效、简便的计算方法,被广泛用于对多项式进行除法运算,尤其是在除以一次式时,能够快速得出商和余数。

一、什么是多项式的除法原理?

多项式的除法原理是基于带余除法的基本思想:对于任意两个多项式 $ f(x) $ 和 $ g(x) $(其中 $ g(x) \neq 0 $),存在唯一的多项式 $ q(x) $(称为商)和 $ r(x) $(称为余数),使得:

$$

f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)

$$

其中,$ \deg(r(x)) < \deg(g(x)) $ 或者 $ r(x) = 0 $。

当 $ g(x) $ 是一个一次多项式(如 $ x - a $)时,我们可以使用一种特殊的除法方式——综合除法,来更高效地完成除法过程。

二、综合除法的原理与步骤

综合除法是一种专门用于将多项式除以形如 $ x - a $ 的一次式的方法。其核心思想是通过系数的排列与递推计算,直接得到商式和余数,而不需要进行传统的长除法操作。

步骤如下:

1. 写出被除式的系数:将多项式按降幂排列,写出所有项的系数,包括零系数项。

2. 确定除数的根:若除数为 $ x - a $,则取 $ a $ 作为除数的“根”。

3. 开始计算:

- 将首项系数移到下方;

- 用该系数乘以 $ a $,加到下一项系数上;

- 重复此过程,直到所有系数处理完毕。

4. 得到商式与余数:

- 最后一行的数字中,除了最后一个外,都是商式的系数;

- 最后一个数字是余数。

示例:

用综合除法计算 $ (x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 3) $

1. 被除式系数为:1, -2, -5, 6

2. 除数为 $ x - 3 $,即 $ a = 3 $

| | 1 | -2| -5| 6 |

|-----|-----|-----|-----|-----|

| | | 3 | 3 | -6|

| | 1 | 1 | -2| 0 |

- 商式为 $ x^2 + x - 2 $

- 余数为 0,说明 $ x - 3 $ 是 $ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 $ 的因式

三、综合除法的优点

1. 计算效率高:相比传统长除法,综合除法减少了大量重复计算。

2. 易于掌握:步骤清晰,适合初学者理解和应用。

3. 便于验证:可用于检验多项式是否能被某个一次式整除。

4. 适用于因式分解:结合因式定理,可以快速找出多项式的根。

四、练习题(附答案)

题目1:用综合除法计算 $ (x^3 + 4x^2 - 7x - 10) \div (x + 2) $

答案:商为 $ x^2 + 2x - 11 $,余数为 12

题目2:判断 $ x - 1 $ 是否为 $ x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 4x - 4 $ 的因式。

答案:是,余数为 0

题目3:用综合除法求 $ (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) \div (x - 1) $ 的商与余数。

答案:商为 $ 2x^2 - 3x + 0 $,余数为 -1

五、总结

综合除法是处理多项式除法的一种高效工具,尤其适用于除以一次式的情况。通过掌握其原理和步骤,不仅可以提升计算速度,还能加深对多项式结构的理解。建议多做练习题,熟练运用这一技巧,为后续的代数学习打下坚实基础。

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