在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的模块，也是高考中的常考内容之一。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，本文将系统梳理高中数学必修五中关于三角函数的核心知识点，并附上相应的练习题及详细的答案解析。
一、三角函数的基本概念
1. 角的概念
- 角是由两条射线组成的几何图形，通常用弧度或角度来表示。
- 弧度制：1弧度等于半径长度与圆周长的比例。
- 常见特殊角的弧度值：$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$。
2. 三角函数定义
在单位圆上，任意角$\theta$对应的点为$(x, y)$，则：
$$
\sin\theta = y, \quad \cos\theta = x, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)
$$
3. 诱导公式
- 奇变偶不变，符号看象限。
- 例如：$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$, $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$。
二、三角函数的基本性质
1. 周期性
- 正弦和余弦函数的最小正周期为$2\pi$。
- 正切函数的最小正周期为$\pi$。
2. 奇偶性
- 正弦函数是奇函数：$\sin(-x) = -\sin(x)$。
- 余弦函数是偶函数：$\cos(-x) = \cos(x)$。
3. 单调性
- 正弦函数在区间$[0, \pi]$上递增，在区间$[\pi, 2\pi]$上递减。
- 余弦函数在区间$[0, \pi]$上递减，在区间$[\pi, 2\pi]$上递增。
三、三角函数的图像与变换
1. 正弦函数的图像
- 图像呈波浪形，周期为$2\pi$。
- 平移、伸缩等变换会影响图像的位置和形状。
2. 余弦函数的图像
- 图像与正弦函数类似，但起始位置不同。
3. 正切函数的图像
- 存在无穷多个间断点，函数值在这些点附近趋于无穷大或无穷小。
四、练习题及答案解析
练习题1
已知$\sin\alpha = \frac{3}{5}$，且$\alpha$位于第二象限，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$。
解析
根据$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，可得：
$$
\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}
$$
由于$\alpha$在第二象限，$\cos\alpha < 0$，所以：
$$
\cos\alpha = -\frac{4}{5}
$$
进一步计算$\tan\alpha$：
$$
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
$$
答案：$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$，$\tan\alpha = -\frac{3}{4}$。
练习题2
化简表达式：$\frac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)}$。
解析
利用诱导公式：
$$
\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha
$$
代入原式：
$$
\frac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)} = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\tan\alpha
$$
答案：$-\tan\alpha$。
总结
通过以上知识点和练习题的分析，我们可以看到三角函数的学习需要结合公式、图像和实际应用进行综合理解。希望本文的内容能够帮助大家夯实基础，提升解题能力！如果还有疑问，欢迎继续探讨。
---
（注：本文内容为原创整理，仅供学习参考，请勿用于商业用途。）
