【全微分方程的通解公式】在微分方程的研究中，全微分方程是一类具有特殊结构的方程，其形式通常为：
$$
P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0
$$
其中 $ P(x, y) $ 和 $ Q(x, y) $ 是关于 $ x $ 和 $ y $ 的连续可微函数。若该方程满足某种条件，则可以将其视为某个二元函数的全微分，从而直接求出通解。
一、全微分方程的定义与判别条件
一个微分方程
$$
P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0
$$
称为全微分方程，如果存在一个二元函数 $ u(x, y) $，使得
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = P(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y)
$$
即：
$$
du = P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy
$$
此时，原方程可写为
$$
du = 0
$$
因此，其通解即为
$$
u(x, y) = C
$$
其中 $ C $ 为任意常数。
为了判断一个方程是否为全微分方程，需要满足以下条件：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
$$
这个条件也被称为可积性条件或全微分条件。
二、全微分方程的通解公式推导
若已知方程
$$
P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = 0
$$
满足
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
$$
则存在函数 $ u(x, y) $，使得
$$
du = P \, dx + Q \, dy
$$
我们可以通过积分来构造 $ u(x, y) $：
1. 先对 $ x $ 积分，固定 $ y $ 不变：
$$
u(x, y) = \int P(x, y) \, dx + \varphi(y)
$$
2. 然后利用 $ \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y) $ 来确定 $ \varphi(y) $：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int P(x, y) \, dx \right) + \varphi'(y) = Q(x, y)
$$
解得：
$$
\varphi'(y) = Q(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \left( \int P(x, y) \, dx \right)
$$
再对 $ y $ 积分得到 $ \varphi(y) $。
最终，得到的 $ u(x, y) $ 即为所求函数，其通解为：
$$
u(x, y) = C
$$
三、实例分析
考虑方程：
$$
(2x + y) \, dx + (x + 3y^2) \, dy = 0
$$
首先验证是否为全微分方程：
- $ P(x, y) = 2x + y $
- $ Q(x, y) = x + 3y^2 $
计算偏导数：
- $ \frac{\partial P}{\partial y} = 1 $
- $ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 $
满足全微分条件，因此是全微分方程。
接下来求通解：
先对 $ x $ 积分：
$$
u(x, y) = \int (2x + y) \, dx = x^2 + xy + \varphi(y)
$$
再对 $ y $ 求偏导，并与 $ Q(x, y) $ 对比：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = x + \varphi'(y) = x + 3y^2
$$
所以：
$$
\varphi'(y) = 3y^2 \Rightarrow \varphi(y) = y^3 + C
$$
因此，通解为：
$$
u(x, y) = x^2 + xy + y^3 = C
$$
四、总结
全微分方程的通解公式本质上是通过寻找一个二元函数 $ u(x, y) $，使其全微分为原方程的形式。只要满足可积性条件，即可直接构造出通解。这种方法避免了使用积分因子或其他复杂技巧，是一种简洁而高效的解法。
掌握这一通解公式，有助于更深入理解微分方程的结构和求解思路，适用于多种实际问题建模与分析。
