【幂级数展开式常用公式】在数学分析中，幂级数是一种重要的函数表示形式，广泛应用于微积分、微分方程、数值计算等多个领域。通过对某些常见函数进行泰勒展开或麦克劳林展开，可以将它们表示为无限项的多项式形式，从而便于计算和近似求解。

以下是一些常见的幂级数展开式及其应用范围，适用于不同类型的函数和不同的展开点。

1. 指数函数

$$

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

$$

- 定义域：全体实数 $ x \in \mathbb{R} $

- 展开点：$ x = 0 $

- 用途：用于计算指数函数的近似值，或作为其他函数展开的基础。

2. 自然对数函数

$$

\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

$$

- 定义域：$ -1 < x \leq 1 $

- 展开点：$ x = 0 $

- 用途：在积分与微分运算中常被使用。

3. 正弦函数

$$

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

$$

- 定义域：全体实数 $ x \in \mathbb{R} $

- 展开点：$ x = 0 $

- 用途：在三角函数近似计算中非常常见。

4. 余弦函数

$$

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

$$

- 定义域：全体实数 $ x \in \mathbb{R} $

- 展开点：$ x = 0 $

- 用途：同样广泛应用于物理和工程中的周期性问题。

5. 反正切函数

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

$$

- 定义域：$ x \leq 1 $

- 展开点：$ x = 0 $

- 用途：在计算圆周率等数值问题中有所应用。

6. 幂函数展开（二项式展开）

对于任意实数 $ \alpha $，有：

$$

(1 + x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n

$$

其中，组合数定义为：

$$

\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}

$$

- 定义域：当 $ x < 1 $ 时成立

- 用途：在概率论、组合数学中具有重要意义。

7. 一些特殊函数的展开

例如，误差函数（erf）和贝塞尔函数等也存在对应的幂级数展开形式，但这些通常较为复杂，且多用于高等数学或工程应用中。

总结

幂级数展开是数学分析中一种强大的工具，能够将复杂的函数转化为易于处理的多项式形式。掌握这些常用公式的结构和适用范围，有助于提高计算效率，并在理论研究中提供更深入的理解。

在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的展开方式，并结合收敛性分析以确保结果的准确性。