【零输入响应推导全过程】在电路分析与系统理论中，系统的响应通常可以分为几个部分，其中“零输入响应”是一个重要的概念。它指的是在没有外部输入信号的情况下，仅由系统初始状态所引起的响应。理解这一响应的推导过程，有助于深入掌握线性时不变系统的动态特性。
一、定义与基本概念
所谓“零输入响应”，即系统在输入为零（u(t) = 0）的情况下，仅由初始条件（如电容电压、电感电流等）引起的输出变化。这种响应反映了系统内部的能量储存和释放过程。
在数学上，零输入响应是齐次微分方程的解，其形式依赖于系统的特征根。因此，推导过程的核心在于建立系统的微分方程，并求解其对应的齐次方程。
二、系统模型与微分方程建立
以一个简单的RLC串联电路为例，假设电路中无外部激励源，即输入电压为零，仅由电容上的初始电压 $ v_C(0) $ 和电感中的初始电流 $ i_L(0) $ 引起响应。
根据基尔霍夫电压定律（KVL），可得：
$$
v_R + v_L + v_C = 0
$$
其中，
- $ v_R = R i $
- $ v_L = L \frac{di}{dt} $
- $ v_C = \frac{1}{C} \int i dt $
将这些代入后，得到关于电流 $ i(t) $ 的微分方程：
$$
L \frac{d^2i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0
$$
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。
三、特征方程与通解形式
为了求解该微分方程，我们假设其解为指数形式：$ i(t) = e^{st} $。将其代入原方程，得到特征方程：
$$
L s^2 + R s + \frac{1}{C} = 0
$$
解此方程可得两个特征根 $ s_1 $ 和 $ s_2 $。根据特征根的性质，通解的形式如下：
- 若 $ s_1 \neq s_2 $：
$$
i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}
$$
- 若 $ s_1 = s_2 $（重根）：
$$
i(t) = (A_1 + A_2 t) e^{s_1 t}
$$
- 若为共轭复根 $ s = \alpha \pm j\beta $：
$$
i(t) = e^{\alpha t} [A_1 \cos(\beta t) + A_2 \sin(\beta t)
$$
四、利用初始条件确定系数
在零输入响应中，初始条件通常为：
- $ i(0) = i_L(0) $
- $ \frac{di}{dt}(0) = \frac{1}{L} [v_C(0) - R i_L(0)] $
通过这两个条件，可以联立求出通解中的待定系数 $ A_1 $ 和 $ A_2 $，从而得到具体的零输入响应表达式。
例如，若特征根为实数且不相等，则：
$$
i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}
$$
代入初始条件：
- 当 $ t=0 $ 时，$ i(0) = A_1 + A_2 $
- 对 $ i(t) $ 求导，得：
$$
\frac{di}{dt} = A_1 s_1 e^{s_1 t} + A_2 s_2 e^{s_2 t}
$$
代入 $ t=0 $ 得：
$$
\frac{di}{dt}(0) = A_1 s_1 + A_2 s_2
$$
由此可解出 $ A_1 $ 和 $ A_2 $。
五、结论与意义
通过上述步骤，我们完成了对零输入响应的完整推导。这个过程不仅展示了如何从物理系统出发建立数学模型，还体现了系统动态行为的本质——即由初始能量引发的响应。
零输入响应在实际工程中具有重要意义，尤其在系统稳定性分析、瞬态响应研究以及控制系统设计中有着广泛应用。理解其推导过程，有助于加深对系统行为本质的理解，并为后续的零状态响应和全响应分析打下坚实基础。
六、总结
本文详细阐述了零输入响应的推导过程，包括系统建模、微分方程建立、特征方程求解、通解形式确定以及利用初始条件求解具体表达式的步骤。通过对这一过程的梳理，有助于读者更清晰地把握线性时不变系统在无外加激励下的动态行为。
