【立方等于本身的有理数有】在数学中，常常会遇到一些特殊的数，它们的某些运算结果具有独特的性质。例如，有些数在平方后仍然保持不变，或者在立方后也与原数相同。今天我们要探讨的是“立方等于本身的有理数”有哪些。

首先，我们需要明确什么是“立方等于本身”。也就是说，一个数 $ x $ 满足等式：

$$

x^3 = x

$$

这个方程可以变形为：

$$

x^3 - x = 0

$$

进一步提取公因式：

$$

x(x^2 - 1) = 0

$$

继续分解：

$$

x(x - 1)(x + 1) = 0

$$

由此我们可以得到三个解：

$$

x = 0,\quad x = 1,\quad x = -1

$$

这三个数都是有理数，因此我们得出结论：立方等于本身的有理数有 0、1 和 -1。

接下来，我们对每个数进行验证，以确保它们确实满足条件。

- 对于 $ x = 0 $，有 $ 0^3 = 0 $，显然成立；

- 对于 $ x = 1 $，有 $ 1^3 = 1 $，同样成立；

- 对于 $ x = -1 $，有 $ (-1)^3 = -1 $，也成立。

因此，这三个数确实满足立方等于本身的条件。

需要注意的是，虽然我们在这里只讨论了有理数，但其实这个方程在实数范围内还有其他解吗？答案是否定的。因为在实数范围内，该方程只有这三根，而其他可能的解都属于无理数或复数范围，不在我们当前的讨论范畴之内。

此外，这些数在数学中的应用非常广泛。例如，在代数、几何、物理等多个领域中，它们常被用来作为特殊点或基准值。比如在函数图像中，$ x = 0 $、$ x = 1 $、$ x = -1 $ 常常是函数的极值点或对称中心。

总结一下，通过解方程 $ x^3 = x $，我们找到了所有满足“立方等于本身”的有理数，它们分别是 0、1 和 -1。这些数虽然简单，却蕴含着数学中的基本规律和对称性，值得我们深入理解和研究。