【考研八个常见的泰勒公式】在考研数学中，泰勒公式是一个重要的知识点，尤其在高等数学和微积分部分频繁出现。它不仅用于近似计算，还常用于极限的求解、函数展开以及证明题中。掌握一些常见的泰勒展开式，对于提高解题效率、加深对函数性质的理解具有重要意义。

下面列举出考研中最为常见、也最为实用的八个泰勒公式，帮助考生在复习过程中快速记忆与应用。

1. $ e^x $ 的泰勒展开式

$$

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \quad (x \in \mathbb{R})

$$

这是最基础也是最常用的泰勒展开之一，适用于所有实数范围内的 $ x $。

2. $ \sin x $ 的泰勒展开式

$$

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots

$$

该展开式仅包含奇次幂项，是奇函数的典型例子。

3. $ \cos x $ 的泰勒展开式

$$

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots

$$

此展开式只含偶次幂项，是偶函数的代表。

4. $ \ln(1+x) $ 的泰勒展开式

$$

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots \quad (x < 1)

$$

注意其收敛域为 $ x < 1 $，在 $ x = -1 $ 处不收敛。

5. $ \arctan x $ 的泰勒展开式

$$

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots \quad (x \leq 1)

$$

该展开式适用于 $ x \leq 1 $，是反三角函数的重要展开形式。

6. $ \arcsin x $ 的泰勒展开式

$$

\arcsin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots \quad (x < 1)

$$

虽然展开式较为复杂，但在某些题目中会用到，尤其是涉及反三角函数的极限问题。

7. $ \ln(1-x) $ 的泰勒展开式

$$

\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} - \cdots \quad (x < 1)

$$

与 $ \ln(1+x) $ 类似，但符号不同，需注意区别。

8. $ \frac{1}{1-x} $ 的泰勒展开式

$$

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots \quad (x < 1)

$$

这是一个几何级数的展开形式，常用于多项式逼近或级数求和问题。

总结

以上八种泰勒展开式是考研数学中非常常见且高频使用的知识点。它们不仅有助于理解函数的局部行为，还能在极限、导数、积分等题型中发挥关键作用。建议考生在备考时不仅要记住这些展开式，还要结合例题进行练习，熟练掌握其应用场景和技巧。

通过反复练习和总结，相信你能在考试中灵活运用这些泰勒公式，提升解题效率和准确率。