【解下列方程】在数学学习过程中，解方程是一个基础而重要的环节。它不仅能够帮助我们理解变量之间的关系，还能培养逻辑思维能力和问题解决能力。本文将围绕“解下列方程”这一主题，通过几个典型例题，详细讲解如何系统地分析和求解一元一次方程、一元二次方程以及简单的分式方程。

首先，我们从最基础的一元一次方程开始。例如：

例1：解方程 2x + 5 = 11

解题思路如下：

1. 将常数项移到等号另一边：

$ 2x = 11 - 5 $

$ 2x = 6 $

2. 两边同时除以系数2：

$ x = \frac{6}{2} $

$ x = 3 $

因此，该方程的解为 $ x = 3 $。

接下来是更为复杂的一元二次方程。这类方程的一般形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。常见的解法包括因式分解、配方法和求根公式（即判别式法）。

例2：解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $

我们可以尝试因式分解：

$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 $

因此，方程的两个解为：

$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $

如果无法直接因式分解，可以使用求根公式：

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

对于上述方程，$ a = 1 $，$ b = -5 $，$ c = 6 $，代入得：

$$

x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

$$

所以，$ x = 3 $ 或 $ x = 2 $，与因式分解结果一致。

最后，我们来看一个分式方程的例子：

例3：解方程 $ \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} = 1 $

解题步骤如下：

1. 找到所有分母的最小公倍数，这里是 $ x(x+1) $。

2. 两边同时乘以这个公倍数，消去分母：

$$

x(x+1) \cdot \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} \right) = x(x+1) \cdot 1

$$

化简后得到：

$$

2(x+1) + x = x(x+1)

$$

3. 展开并整理方程：

$$

2x + 2 + x = x^2 + x

$$

$$

3x + 2 = x^2 + x

$$

$$

x^2 - 2x - 2 = 0

$$

4. 使用求根公式求解：

$$

x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}

$$

$$

x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}

$$

需要注意的是，在解分式方程时，必须对解进行验根，确保其不使原方程中的分母为零。例如，若 $ x = 0 $ 或 $ x = -1 $，则方程无意义，应舍去。

综上所述，解方程的过程需要结合代数运算、因式分解、公式应用等多种方法，同时注意验证解的合理性。掌握这些技巧，不仅能提高解题效率，还能增强数学思维的严谨性。