【函数可导一定连续这句话正确吗】在数学分析中，函数的可导性与连续性之间的关系是一个基础但非常重要的问题。许多学生在学习微积分时都会遇到这样一个问题：“函数可导一定连续这句话正确吗？”这个问题看似简单，但实际上蕴含着深刻的数学原理。

首先，我们需要明确几个基本概念。函数的“连续”是指在某一点附近，函数值的变化不会出现跳跃或断裂；而“可导”则是指在该点处存在导数，即函数在该点的瞬时变化率存在。从直观上看，如果一个函数在某点可以求导，说明它在这一点附近的变化是“平滑”的，因此很自然地会让人联想到它应该是连续的。

事实上，“函数可导一定连续”这一说法是正确的。这是微积分中的一个基本定理，通常被称为“可导必连续”定理。具体来说，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点必定是连续的。

这个结论可以从导数的定义出发进行证明。设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，则根据导数的定义：

$$

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

$$

若此极限存在，则说明当 $ x $ 趋近于 $ x_0 $ 时，$ f(x) $ 与 $ f(x_0) $ 的差值随着 $ x $ 与 $ x_0 $ 之间的距离趋近于零而趋于零。换句话说，函数在 $ x_0 $ 处的极限值等于函数在该点的函数值，这正是连续性的定义。

因此，可导性比连续性更强，也就是说，如果一个函数在某点可导，那么它必然在该点连续；但反过来却不成立，即连续的函数不一定可导。例如，绝对值函数 $ f(x) = x $ 在 $ x = 0 $ 处是连续的，但在该点不可导，因为左右导数不相等。

不过，在实际应用中，我们常常会遇到一些特殊的函数或情况，比如分段函数、含有绝对值或根号的函数等，这时候需要特别注意其在某些点的可导性和连续性是否满足。因此，在学习和应用微积分的过程中，理解“可导必连续”这一性质是非常重要的。

总结来说，“函数可导一定连续”这句话是正确的，它是微积分理论中的一个重要结论，反映了函数可导性与连续性之间的内在联系。掌握这一知识点不仅有助于理解函数的性质，还能为后续更复杂的数学分析打下坚实的基础。