【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学学习中，泰勒展开是一个非常重要的知识点，尤其在函数的近似计算、极限分析以及导数的应用中有着广泛的应用。虽然泰勒展开通常属于大学数学的内容，但在一些高中的拓展课程或竞赛辅导中也会涉及到。本文将介绍高中阶段常见的十个泰勒展开公式，帮助同学们更好地理解与应用这些知识。
1. $ e^x $ 的泰勒展开
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
$$
这个公式是所有泰勒展开中最基础的一个，适用于任何实数 $ x $。
2. $ \sin x $ 的泰勒展开（以 0 为中心）
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
该展开式只包含奇次幂项，且符号交替变化。
3. $ \cos x $ 的泰勒展开（以 0 为中心）
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
$$
与正弦类似，余弦展开式只含偶次幂项，符号同样交替变化。
4. $ \ln(1+x) $ 的泰勒展开（以 0 为中心）
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}
$$
该展开式仅在 $
5. $ \arctan x $ 的泰勒展开（以 0 为中心）
$$
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
$$
适用于 $
6. $ \ln(1-x) $ 的泰勒展开（以 0 为中心）
$$
\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}
$$
该展开式在 $
7. $ (1+x)^k $ 的泰勒展开（二项式展开）
$$
(1+x)^k = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots
$$
其中 $ k $ 是任意实数，适用于 $
8. $ \tan x $ 的泰勒展开（以 0 为中心）
$$
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots
$$
由于 $ \tan x $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处不连续，因此其泰勒展开只在 $
9. $ \sinh x $ 的泰勒展开（双曲正弦）
$$
\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
与 $ \sin x $ 类似，但没有负号。
10. $ \cosh x $ 的泰勒展开（双曲余弦）
$$
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}
$$
与 $ \cos x $ 类似，但无负号。
总结
以上是高中阶段较为常见且实用的十个泰勒展开公式。虽然它们在大学数学中更为深入，但在高中阶段掌握这些公式可以帮助学生更灵活地处理一些复杂的函数问题，尤其是在极限、近似计算和微分方程中。建议同学们在学习过程中多加练习，加深对这些公式的理解和记忆。
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