【高一数学所有关于三角函数的公式】在高一数学的学习中，三角函数是一个非常重要的知识点。它不仅与几何图形密切相关，还在物理、工程等多个领域有着广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，本文将系统地整理和归纳高一数学中涉及的所有三角函数相关公式，便于理解和记忆。
一、基本概念
1. 角的单位
- 弧度制：180° = π 弧度
- 角度制与弧度制的转换：
$$
\text{弧度} = \frac{\pi}{180} \times \text{角度}
$$
2. 三角函数的定义（以单位圆为例）
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- $\sin \alpha = y$
- $\cos \alpha = x$
- $\tan \alpha = \frac{y}{x}$（x ≠ 0）
- $\cot \alpha = \frac{x}{y}$（y ≠ 0）
- $\sec \alpha = \frac{1}{x}$（x ≠ 0）
- $\csc \alpha = \frac{1}{y}$（y ≠ 0）
二、三角函数的基本关系式
1. 倒数关系
$$
\sin \alpha = \frac{1}{\csc \alpha}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sec \alpha}, \quad \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}
$$
2. 商数关系
$$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
$$
3. 平方关系
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$
$$
1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha
$$
$$
1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha
$$
三、诱导公式（用于求任意角的三角函数值）
1. 周期性
$$
\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha, \quad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha
$$
2. 奇偶性
- $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$（奇函数）
- $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$（偶函数）
- $\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$
3. 诱导公式（常用）
- $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$
- $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
- $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
- $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$
- $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$
- $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$
四、两角和与差的三角函数公式
1. 正弦公式
$$
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
$$
2. 余弦公式
$$
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
$$
3. 正切公式
$$
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
$$
五、倍角公式
1. 正弦的倍角公式
$$
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha
$$
2. 余弦的倍角公式
$$
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha
$$
3. 正切的倍角公式
$$
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
$$
六、半角公式
1. 正弦的半角公式
$$
\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}
$$
2. 余弦的半角公式
$$
\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}
$$
3. 正切的半角公式
$$
\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}
$$
七、积化和差与和差化积公式
1. 积化和差
$$
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)
$$
$$
\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)
$$
$$
\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)
$$
2. 和差化积
$$
\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
$$
$$
\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
$$
$$
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
$$
$$
\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
$$
八、其他重要公式
1. 正弦定理
在任意三角形ABC中，设a、b、c为对应角A、B、C的对边，则有：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中R是三角形外接圆的半径。
2. 余弦定理
在任意三角形ABC中，有：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
$$
$$
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B
$$
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
九、三角函数图像与性质（简要）
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调区间 |
| $\sin x$ | R | [-1, 1] | $2\pi$ | 奇函数 | 增区间：$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$；减区间：$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$ |
| $\cos x$ | R | [-1, 1] | $2\pi$ | 偶函数 | 增区间：$[-\pi + 2k\pi, 2k\pi]$；减区间：$[2k\pi, \pi + 2k\pi]$ |
| $\tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | R | $\pi$ | 奇函数 | 增区间：$(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ |
十、总结
三角函数是高中数学的重要内容之一，其公式繁多且逻辑性强。通过掌握上述公式，并结合实际问题进行练习，能够有效提升解题能力和数学思维水平。希望本篇内容能帮助同学们系统复习和巩固三角函数的相关知识，为后续学习打下坚实的基础。
