【椭圆的焦半径公式】在解析几何中，椭圆是一个重要的二次曲线。椭圆的焦半径是连接椭圆上任意一点与两个焦点之间的距离。了解椭圆的焦半径公式对于研究椭圆的性质、轨迹问题以及相关应用具有重要意义。
一、焦半径的基本概念
椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)
$$
其中，$ a $ 是长轴半长，$ b $ 是短轴半长，焦点位于 $ x $ 轴上，坐标分别为 $ F_1(-c, 0) $ 和 $ F_2(c, 0) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。
椭圆上任一点 $ P(x, y) $ 到两个焦点的距离称为焦半径，分别记为 $ r_1 $ 和 $ r_2 $。
二、焦半径公式总结
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数 $ 2a $，即：
$$
r_1 + r_2 = 2a
$$
而每个焦半径的具体表达式如下：
| 焦点 | 焦半径公式（以标准方程为例） | 说明 |
| $ F_1(-c, 0) $ | $ r_1 = a + ex $ | 其中 $ e = \frac{c}{a} $ 为离心率 |
| $ F_2(c, 0) $ | $ r_2 = a - ex $ | 其中 $ e = \frac{c}{a} $ 为离心率 |
若椭圆为竖直方向（即 $ y $ 轴为主轴），则公式类似，只需将 $ x $ 替换为 $ y $，并调整焦点坐标。
三、焦半径公式的推导思路
1. 利用两点间距离公式：
对于点 $ P(x, y) $ 和焦点 $ F_1(-c, 0) $，焦半径 $ r_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} $
2. 代入椭圆方程：
由 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 可得 $ y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2}) $
3. 化简表达式：
将 $ y^2 $ 代入 $ r_1 $ 的表达式，通过代数运算可得 $ r_1 = a + ex $，同理可得 $ r_2 = a - ex $
四、实际应用举例
假设椭圆方程为 $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $，则：
- $ a = 5 $，$ b = 4 $
- $ c = \sqrt{25 - 16} = 3 $
- 离心率 $ e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} $
对于点 $ P(3, y) $，代入椭圆方程得：
$$
\frac{9}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = 16 \times \left(1 - \frac{9}{25}\right) = 16 \times \frac{16}{25} = \frac{256}{25}
$$
因此：
- $ r_1 = a + ex = 5 + \frac{3}{5} \times 3 = 5 + \frac{9}{5} = \frac{34}{5} $
- $ r_2 = a - ex = 5 - \frac{9}{5} = \frac{16}{5} $
五、总结
椭圆的焦半径公式是理解椭圆几何性质的重要工具。通过焦半径公式，可以快速计算椭圆上某点到焦点的距离，并用于解决与椭圆相关的轨迹、对称性、极值等问题。
| 椭圆类型 | 标准方程 | 焦点位置 | 焦半径公式 |
| 横轴椭圆 | $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ | $ (\pm c, 0) $ | $ r_1 = a + ex $, $ r_2 = a - ex $ |
| 纵轴椭圆 | $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 $ | $ (0, \pm c) $ | $ r_1 = a + ey $, $ r_2 = a - ey $ |
通过掌握这些公式和推导方法，能够更深入地理解和应用椭圆的相关知识。
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