【复数的乘除运算】在数学中，复数是一种包含实部和虚部的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数在许多科学与工程领域中有着广泛的应用，尤其是在电路分析、信号处理以及量子力学等领域。在复数的学习过程中，乘法和除法是两个重要的运算方式，掌握它们对于深入理解复数的性质至关重要。
一、复数的乘法
复数的乘法遵循分配律，并且需要特别注意 $ i^2 = -1 $ 的规则。若有两个复数 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $，则它们的乘积可以通过如下方式计算：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
$$
将 $ i^2 $ 替换为 $ -1 $，并整理同类项：
$$
= (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
因此，复数的乘法结果仍然是一个复数，其实部为 $ ac - bd $，虚部为 $ ad + bc $。
示例：
计算 $ (2 + 3i)(4 - i) $
$$
= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
= 8 - 2i + 12i - 3i^2
= 8 + 10i + 3
= 11 + 10i
$$
二、复数的除法
复数的除法相对复杂一些，因为不能直接进行分母的除法。为了简化运算，通常采用“有理化分母”的方法，即通过乘以共轭复数来消除分母中的虚数部分。
若有一个复数 $ z_1 = a + bi $，另一个复数 $ z_2 = c + di $，那么它们的商可以表示为：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di}
$$
为了消除分母中的虚数部分，我们可以将分子和分母同时乘以 $ c - di $（即 $ z_2 $ 的共轭复数）：
$$
\frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}
$$
展开分子部分：
$$
= \frac{ac - adi + bci - bdi^2}{c^2 + d^2}
= \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
$$
因此，最终结果为：
$$
\frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i
$$
示例：
计算 $ \frac{3 + 4i}{1 + 2i} $
首先，乘以共轭复数 $ 1 - 2i $：
$$
\frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 - 2i)}{1^2 + 2^2}
= \frac{3(1) - 6i + 4i - 8i^2}{5}
= \frac{3 - 2i + 8}{5}
= \frac{11 - 2i}{5}
= \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i
$$
三、总结
复数的乘法和除法虽然在形式上比实数的运算更为复杂，但只要掌握了基本的代数规则和共轭复数的使用，就能较为轻松地完成相关计算。在实际应用中，这些运算常常用于向量旋转、频率分析等场景。通过不断练习和理解其背后的数学原理，能够帮助我们更好地掌握复数这一重要工具。
