【绝对值不等式6个基本公式的证明】在数学的学习过程中，绝对值不等式是解决许多实际问题的重要工具。它不仅广泛应用于代数、分析和几何中，还在优化、概率论以及计算机科学等领域有重要应用。本文将对六个常见的绝对值不等式的基本公式进行系统性的证明，旨在帮助读者深入理解其逻辑结构与数学本质。
一、基本概念回顾
在实数范围内，对于任意一个实数 $ a $，其绝对值定义为：
$$
\begin{cases}
a, & \text{如果 } a \geq 0 \\
-a, & \text{如果 } a < 0
\end{cases}
$$
绝对值具有以下基本性质：
1. 非负性：$
2. 对称性：$
3. 三角不等式：$
这些性质构成了后续不等式推导的基础。
二、六个基本绝对值不等式及其证明
1. 三角不等式（最基础）
公式：
$$
| a + b | \leq | a | + | b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| a + b | ^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ 另一方面， $$ ( | a | + | b | )^2 = a^2 + 2 | a | b | + b^2 $$ 由于 $ ab \leq | a | b | $（由绝对值的性质），因此： $$ a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2 | a | b | + b^2 $$ 即： $$ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| a + b | ^2 \leq ( | a | + | b | )^2 $$ 开方后得： $$
|
