【下学期5.4（平面向量的坐标运算2）】在数学学习中，向量是一个非常重要的概念，尤其在几何与物理中有着广泛的应用。本节我们将继续深入探讨“平面向量的坐标运算”，重点在于如何利用坐标来表示和计算向量之间的加减、数乘以及点积等基本运算。

一、回顾：平面向量的基本概念

平面向量是指在二维平面内具有大小和方向的量。通常用有向线段来表示，也可以用坐标形式来表达。例如，向量 a 可以表示为 a = (x, y)，其中 x 和 y 分别是该向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

二、向量的坐标表示

在直角坐标系中，若点 A 的坐标为 (x₁, y₁)，点 B 的坐标为 (x₂, y₂)，则从 A 到 B 的向量可以表示为：

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

这个表示方式不仅简洁，而且便于进行后续的运算。

三、向量的加法与减法

1. 向量的加法

若有两个向量 a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂)，则它们的和为：

a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

这种运算符合平行四边形法则或三角形法则。

2. 向量的减法

向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即：

a - b = a + (-b) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)

几何上，这表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点。

四、向量的数乘运算

向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数（标量），结果仍然是一个向量。设向量 a = (x, y)，k 是一个实数，则：

k·a = (kx, ky)

- 当 k > 0 时，方向不变，长度变为原来的 k 倍；

- 当 k < 0 时，方向相反，长度仍为 |k| 倍。

五、向量的坐标运算应用

在实际问题中，向量的坐标运算可以帮助我们解决许多几何和物理问题。例如：

- 计算物体的位移；

- 确定两个向量是否共线或垂直；

- 求解力的合成与分解问题。

六、典型例题解析

例题1： 已知向量 a = (3, 4)，向量 b = (-1, 2)，求 a + b 和 a - b。

解：

- a + b = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)

- a - b = (3 - (-1), 4 - 2) = (4, 2)

例题2： 向量 c = (2, -3)，求 3c 和 -2c。

解：

- 3c = (3×2, 3×(-3)) = (6, -9)

- -2c = (-2×2, -2×(-3)) = (-4, 6)

七、总结

通过本节的学习，我们掌握了如何利用坐标对平面向量进行加法、减法和数乘运算。这些运算不仅是数学中的基础内容，也是解决实际问题的重要工具。希望同学们能够通过练习，进一步加深对向量运算的理解与运用。

提示： 在学习过程中，建议多结合图形进行理解，这样有助于提高空间想象能力和运算准确性。