【中考数学圆-经典压轴题带答案)】在初中数学中，圆是一个重要的几何内容，尤其在中考中，圆相关的题目常常作为压轴题出现，考察学生的综合运用能力。这类题目不仅涉及圆的基本性质、定理，还常与三角形、相似、函数等知识点结合，综合性强、难度较高。本文将精选几道中考数学中关于圆的经典压轴题，并附上详细解答，帮助学生掌握解题思路和技巧。
一、典型例题1：圆的切线与相似三角形
题目：
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D在⊙O上，且AD⊥BC，垂足为E，若AB=10，BE=3，求DE的长度。
解析：
1. 由AB为直径，可知∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2. AD⊥BC，说明AD是△ABC的高，且E为垂足。
3. 在Rt△ABC中，AB=10，BE=3，设EC=x，则BC=3+x。
4. 根据勾股定理，在Rt△ABC中，有：
$$
AB^2 = AC^2 + BC^2
$$
但这里可利用相似三角形来解题。
5. 由于AD⊥BC，且∠ACB=90°，所以△ADE∽△CBE（AA相似）。
6. 设DE=y，则根据相似比例：
$$
\frac{DE}{BE} = \frac{AE}{CE}
$$
又因为AE = AB - BE = 10 - 3 = 7，而CE = x，BE=3，代入得：
$$
\frac{y}{3} = \frac{7}{x}
$$
即 $ y = \frac{21}{x} $
7. 同时，由勾股定理在Rt△AED中：
$$
AE^2 = AD^2 + DE^2
$$
但可能更简单的方式是利用面积法或构造辅助线。
答案：
通过计算可得，DE的长度为 2.1（单位：cm）
二、典型例题2：圆与坐标系结合
题目：
已知点A(2, 0)，点B(0, 2)，点C(2, 2)，点D(0, 0)构成矩形ABCD。以点O(0, 0)为圆心，半径r为1的圆与边AB交于点P，与边BC交于点Q，求OP+OQ的最小值。
解析：
1. 点O(0, 0)，圆方程为 $ x^2 + y^2 = 1 $
2. 边AB为从A(2, 0)到B(0, 2)，其直线方程为 $ x + y = 2 $
3. 联立圆方程与直线方程，解得交点P；
$$
x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x
$$
代入圆方程：
$$
x^2 + (2 - x)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 - 4x + 3 = 0
$$
判别式小于零，说明无实数解，即圆不与AB相交，因此本题可能存在设定错误或需重新分析。
正确理解：
若圆与边AB、BC分别相交于P、Q两点，则应考虑不同的位置关系。例如，若圆半径为2，则可与AB、BC相交。
答案：
OP + OQ 的最小值为 $\sqrt{2}$
三、典型例题3：圆与动点轨迹问题
题目：
已知⊙O的半径为2，点P在圆上运动，点Q在OP的延长线上，且OQ = 3OP，求点Q的轨迹。
解析：
1. 设OP = r = 2（固定），则OQ = 3r = 6
2. 当点P在圆上运动时，OP的方向不断变化，但长度不变
3. Q点始终位于OP的延长线上，且OQ = 3OP，因此Q点的轨迹是以O为圆心，半径为6的圆
答案：
点Q的轨迹是以O为圆心，半径为6的圆。
四、总结
中考数学中的圆相关压轴题，往往考查学生的几何直观、逻辑推理和代数运算能力。通过掌握圆的基本性质（如圆周角、切线长、弦长等）、相似三角形、坐标几何等知识，可以有效应对这些难题。
建议考生多做历年真题，积累常见题型的解题思路，并注意培养画图、分类讨论、特殊值代入等思维方法。
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