【北师大版初中数学八年级下册期中测试题1】一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. $ \frac{1}{2} $
B. $ x + 1 $
C. $ \frac{x}{2} $
D. $ \frac{2}{x} $
2. 若 $ a < b $，则下列不等式成立的是（ ）
A. $ a - 3 > b - 3 $
B. $ -a > -b $
C. $ 2a > 2b $
D. $ \frac{a}{2} < \frac{b}{2} $
3. 分式 $ \frac{x - 1}{x + 2} $ 有意义的条件是（ ）
A. $ x \neq 1 $
B. $ x \neq -2 $
C. $ x \neq 2 $
D. $ x \neq -1 $
4. 下列多项式中，可以因式分解的是（ ）
A. $ x^2 + 1 $
B. $ x^2 - 4 $
C. $ x^2 + 2x + 1 $
D. $ x^2 + 3x + 2 $
5. 不等式组 $ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} $ 的解集是（ ）
A. $ x > -1 $
B. $ x < 2 $
C. $ -1 < x < 2 $
D. $ x > 2 $
6. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列比例式正确的是（ ）
A. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $
B. $ \frac{a}{d} = \frac{c}{b} $
C. $ \frac{a}{b} = \frac{d}{c} $
D. $ \frac{b}{a} = \frac{c}{d} $
7. 化简 $ \frac{2x}{x^2 - 4} $，结果为（ ）
A. $ \frac{2}{x - 2} $
B. $ \frac{2}{x + 2} $
C. $ \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} $
D. $ \frac{2}{x^2 - 4} $
8. 若 $ x = 3 $，则代数式 $ x^2 - 2x + 1 $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 9
9. 在实数范围内，下列哪个数没有平方根？（ ）
A. 0
B. 4
C. -1
D. 1
10. 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，则 $ a^2 + b^2 = $（ ）
A. 13
B. 17
C. 25
D. 11
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若 $ \frac{x}{3} = \frac{y}{4} $，则 $ \frac{x}{y} = $ ________。
12. 不等式 $ 2x - 5 < 3 $ 的解集是 ________。
13. 分式 $ \frac{3}{x - 1} $ 中，当 $ x = 2 $ 时，其值为 ________。
14. 因式分解：$ x^2 - 9 = $ ________。
15. 若 $ \sqrt{a} = 3 $，则 $ a = $ ________。
16. 若 $ \frac{2}{x} = \frac{1}{3} $，则 $ x = $ ________。
三、解答题（共52分）
17. （8分）解不等式组：
$$
\begin{cases}
2x - 1 > 3 \\
x + 4 \leq 6
\end{cases}
$$
18. （8分）先化简，再求值：
$ \frac{x^2 - 4}{x - 2} $，其中 $ x = 3 $。
19. （10分）已知 $ a + b = 4 $，$ ab = 3 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。
20. （10分）解方程：
$ \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = 1 $
21. （12分）某校八年级学生进行一次数学测验，甲班有 $ m $ 名学生，乙班有 $ n $ 名学生。甲班平均分为 $ 85 $ 分，乙班平均分为 $ 90 $ 分。若两班总平均分为 $ 88 $ 分，求 $ m $ 和 $ n $ 的关系式，并说明该关系式的实际意义。
22. （4分）附加题（不计入总分）：
若 $ x + y = 5 $，$ xy = 6 $，求 $ x^3 + y^3 $ 的值。
参考答案（仅供参考）
一、选择题
1. D
2. B
3. B
4. D
5. C
6. A
7. A
8. C
9. C
10. A
二、填空题
11. $ \frac{3}{4} $
12. $ x < 4 $
13. 3
14. $ (x - 3)(x + 3) $
15. 9
16. 6
三、解答题
17. $ 2 < x \leq 2 $ → 解集为 $ 2 < x \leq 2 $（无解）
18. 化简得 $ x + 2 $，代入 $ x = 3 $ 得 5
19. $ a^2 + b^2 = 10 $
20. 解得 $ x = 2 $
21. 关系式为 $ 85m + 90n = 88(m + n) $，即 $ 5m = 2n $，表示甲班人数与乙班人数之比为 2:5
22. $ x^3 + y^3 = 125 $（提示：利用公式 $ x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) $）
