在工程领域中，数学作为一门基础学科，扮演着至关重要的角色。无论是机械、电子、土木还是计算机等专业，工程数学都是学生必须掌握的核心知识之一。为了帮助学习者更好地理解和掌握相关知识点，本文将提供一份典型的“工程数学试题与答案”内容，并对其进行详细解析。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列哪一个函数是奇函数？
A. $ f(x) = x^2 + 1 $
B. $ f(x) = \sin(x) $
C. $ f(x) = \cos(x) $
D. $ f(x) = e^x $
答案：B
解析：奇函数满足 $ f(-x) = -f(x) $。只有 $ \sin(x) $ 满足这一条件，其余选项均为偶函数或非奇非偶函数。
2. 若矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式为：
A. 1
B. -2
C. -1
D. 0
答案：B
解析：行列式的计算公式为 $ ad - bc $，即 $ 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2 $。
3. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解为：
A. $ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} $
B. $ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $
C. $ y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} $
D. $ y = C_1 x + C_2 $
答案：B
解析：该方程为二阶常系数齐次线性微分方程，特征方程为 $ r^2 + 4 = 0 $，解得 $ r = \pm 2i $，因此通解为正弦和余弦形式。
4. 设 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(x) $ 为：
A. $ 3x^2 - 3 $
B. $ 3x^2 + 3 $
C. $ x^2 - 3 $
D. $ 3x^2 $
答案：A
解析：对 $ x^3 $ 求导为 $ 3x^2 $，对 $ -3x $ 求导为 $ -3 $，所以导数为 $ 3x^2 - 3 $。
二、填空题（每空5分，共20分）
1. 向量 $ \vec{a} = (2, -1, 3) $ 与向量 $ \vec{b} = (1, 2, -1) $ 的点积为 ______。
答案：2×1 + (-1)×2 + 3×(-1) = 2 - 2 - 3 = -3
2. 函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数为 ______。
答案：$ \frac{2x}{x^2 + 1} $
3. 矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $ 的逆矩阵为 ______。
答案：$ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix} $
4. 定积分 $ \int_{0}^{1} (2x + 1) dx $ 的值为 ______。
答案：$ [x^2 + x]_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2 $
三、解答题（每题10分，共40分）
1. 解方程组：
$$
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
x - 3y = -1
\end{cases}
$$
答案：
由第二个方程得 $ x = 3y - 1 $，代入第一个方程：
$$
2(3y - 1) + y = 5 \Rightarrow 6y - 2 + y = 5 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1
$$
代入得 $ x = 3×1 - 1 = 2 $，所以解为 $ x = 2, y = 1 $。
2. 计算不定积分 $ \int \frac{1}{x^2 + 4} dx $。
答案：
利用公式 $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $，这里 $ a = 2 $，所以结果为：
$$
\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
$$
3. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $，求其极值点及极值。
答案：
先求导：$ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $，令导数为零：
$$
3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0
$$
所以极值点为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $。
再求二阶导数 $ f''(x) = 6x - 12 $：
- 当 $ x = 1 $，$ f''(1) = -6 < 0 $，为极大值点；
- 当 $ x = 3 $，$ f''(3) = 6 > 0 $，为极小值点。
极大值为 $ f(1) = 4 $，极小值为 $ f(3) = 0 $。
4. 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的特征值。
答案：
特征方程为 $ \det(A - \lambda I) = 0 $，即：
$$
\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
$$
解得特征值为：
$$
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}
$$
四、总结
工程数学不仅是一门理论性强的学科，更是解决实际工程问题的重要工具。通过系统的学习和练习，能够有效提升分析和解决问题的能力。本套试题涵盖了微积分、线性代数、微分方程等多个核心知识点，适合用于复习和自我检测。
希望同学们在备考过程中注重理解概念，加强练习，逐步提高自己的数学素养与应用能力。
