在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅在课本中占据较大比重，而且在实际问题的解决中也广泛应用。为了帮助同学们更好地掌握和运用这些公式，本文将对常见的三角函数公式进行系统整理与详细解析，便于复习和查阅。
一、基本概念
三角函数是研究直角三角形边角关系的一种函数，通常以角度为自变量，其值为对应边长的比值。常见的三角函数有：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等。
此外，还有它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。
二、三角函数的基本定义
设一个角α位于直角坐标系的终边上，点P(x, y)为其终边上的一点，r = √(x² + y²)，则：
- sinα = y / r
- cosα = x / r
- tanα = y / x
- cotα = x / y
- secα = r / x
- cscα = r / y
三、三角函数的诱导公式
诱导公式用于将任意角的三角函数转换为0°~360°之间的角的三角函数，常见如下：
1. 周期性公式：
- sin(α + 2π) = sinα
- cos(α + 2π) = cosα
- tan(α + π) = tanα
2. 奇偶性公式：
- sin(-α) = -sinα
- cos(-α) = cosα
- tan(-α) = -tanα
3. 对称性公式：
- sin(π - α) = sinα
- cos(π - α) = -cosα
- tan(π - α) = -tanα
4. 互补角公式：
- sin(π/2 - α) = cosα
- cos(π/2 - α) = sinα
- tan(π/2 - α) = cotα
四、同角三角函数基本关系式
1. 平方关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
2. 商数关系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 倒数关系：
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
五、两角和与差的三角函数公式
1. 正弦公式：
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
2. 余弦公式：
- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
3. 正切公式：
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
六、倍角公式
1. 正弦倍角公式：
- sin2α = 2sinαcosα
2. 余弦倍角公式：
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
3. 正切倍角公式：
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
七、半角公式
1. 正弦半角公式：
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
2. 余弦半角公式：
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
3. 正切半角公式：
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]
八、积化和差与和差化积公式
1. 积化和差：
- sinαcosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2
- cosαcosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2
- sinαsinβ = [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2
2. 和差化积：
- sinA + sinB = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]
- cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]
九、反三角函数简介
反三角函数是三角函数的反函数，用于求解已知三角函数值所对应的角。常见的有：
- arcsin x（反正弦函数）
- arccos x（反余弦函数）
- arctan x（反正切函数）
它们的定义域和值域如下：
| 函数 | 定义域 | 值域 |
|------------|------------|--------------|
| arcsin x | [-1, 1]| [-π/2, π/2]|
| arccos x | [-1, 1]| [0, π] |
| arctan x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2)|
十、三角函数图像与性质
1. 正弦函数 y = sinx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 图像：波浪线，从原点开始上升
2. 余弦函数 y = cosx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 图像：波浪线，从(0,1)开始
3. 正切函数 y = tanx
- 定义域：x ≠ π/2 + kπ
- 值域：R
- 周期：π
- 图像：渐近线每隔π重复一次
结语
掌握好三角函数的相关公式，不仅能提高解题效率，还能增强对数学逻辑的理解。希望本篇“高中数学三角函数公式大全全解”能成为你学习过程中的得力助手，助你在数学的道路上越走越远。
