《二次函数》练习题及答案

在初中数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点。它不仅在代数中占有重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面提供了一些精选的练习题及其详细解答。

练习题

一、选择题

1. 下列哪个函数是标准形式的二次函数？

A. \(y = x^3 + 2x^2 - 3\)

B. \(y = 4x^2 - 5x + 6\)

C. \(y = \frac{1}{x} + 2\)

D. \(y = 3x - 7\)

2. 若二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的顶点坐标为 \((2, -3)\)，则下列哪项正确？

A. \(a > 0\)

B. \(b < 0\)

C. \(c = -3\)

D. \(a + b + c = 0\)

二、填空题

3. 已知二次函数 \(y = 2x^2 - 4x + 1\)，其对称轴方程为 ________。

4. 若二次函数的图像经过点 \((1, 2)\) 和 \((-1, 6)\)，且顶点坐标为 \((0, 3)\)，则该函数表达式为 ________。

三、解答题

5. 求解二次函数 \(y = x^2 - 6x + 8\) 的顶点坐标和与 \(x\) 轴的交点。

答案解析

1. 正确答案：B

标准形式的二次函数定义为 \(y = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a \neq 0\)。选项B符合此条件。

2. 正确答案：D

根据顶点公式 \(-\frac{b}{2a}\)，若顶点为 \((2, -3)\)，则 \(-\frac{b}{2a} = 2\)，即 \(b = -4a\)。同时，将顶点代入函数可得 \(c = -3\)，结合 \(a + b + c = 0\) 验证。

3. 对称轴方程为 \(x = 1\)

对称轴公式为 \(x = -\frac{b}{2a}\)，代入 \(a = 2, b = -4\) 即可求得。

4. 函数表达式为 \(y = 2x^2 + 3\)

利用顶点式 \(y = a(x-h)^2 + k\)，结合顶点 \((0, 3)\) 和已知点 \((1, 2)\)，可确定 \(a = 2\)。

5. 顶点坐标为 \((3, -1)\)，与 \(x\) 轴交点为 \(x = 2\) 和 \(x = 4\)

将函数配方得 \(y = (x-3)^2 - 1\)，顶点为 \((3, -1)\)；令 \(y = 0\) 解方程即可得交点。

通过以上练习题，希望大家能够更加熟练地运用二次函数的相关知识。如果还有任何疑问，欢迎随时交流探讨！