在平面几何中，三角形的四心（即重心、内心、外心和垂心）是研究的重点对象。这些特殊点不仅具有丰富的几何意义，还与向量运算密切相关。本文将从向量的角度出发，探讨三角形四心的主要性质，并给出相应的严格证明。
一、重心的向量性质
设三角形 $ \triangle ABC $ 的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $, $ C(x_3, y_3) $，其对应的向量为 $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $。三角形的重心 $ G $ 是三条中线的交点，满足以下向量关系：
$$
\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}.
$$
证明：
根据重心定义，它将每条中线分为 $ 2:1 $ 的比例。设 $ D $ 为边 $ BC $ 的中点，则 $ \vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} $。由重心性质可得：
$$
\vec{G} = \vec{A} + \frac{1}{3}(\vec{D} - \vec{A}) = \vec{A} + \frac{1}{3}\left( \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{A} \right).
$$
化简后得到：
$$
\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3},
$$
这验证了重心的向量表达式。
二、内心的向量性质
三角形的内心 $ I $ 是三条角平分线的交点，同时也是内切圆的圆心。其向量性质为：
$$
\vec{I} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a + b + c},
$$
其中 $ a, b, c $ 分别为边 $ BC, CA, AB $ 的长度。
证明：
设 $ I $ 到三边的距离相等，且记内切圆半径为 $ r $。利用面积公式 $ S = \frac{1}{2}r(a+b+c) $，可以推导出内心坐标的加权平均形式。结合三角形的几何对称性，即可得出上述结论。
三、外心的向量性质
外心 $ O $ 是三角形外接圆的圆心，位于三边垂直平分线的交点处。其向量性质为：
$$
\vec{O} = \frac{a^2(\vec{B} + \vec{C}) + b^2(\vec{C} + \vec{A}) + c^2(\vec{A} + \vec{B})}{2(a^2 + b^2 + c^2)}.
$$
证明：
外心到三角形各顶点的距离相等，即满足 $ |\vec{O} - \vec{A}| = |\vec{O} - \vec{B}| = |\vec{O} - \vec{C}| $。通过代数展开并整理，可以得到上述表达式。
四、垂心的向量性质
垂心 $ H $ 是三角形三条高的交点。其向量性质为：
$$
\vec{H} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}.
$$
证明：
设 $ H $ 满足 $ \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $ 等条件，通过向量运算可验证上述结论。
综上所述，三角形的四心分别具有独特的向量性质，这些性质反映了它们在几何结构中的重要地位。通过向量工具，我们可以更简洁地描述和分析这些经典问题。
$$
\boxed{\text{三角形四心的向量性质及其证明完毕。}}
$$
