在数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的知识点，而三角函数的诱导公式更是解决相关问题的核心工具之一。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，本文将通过一系列精心设计的练习题，结合详细的解答过程，带领大家逐步熟悉并熟练运用三角函数的诱导公式。
一、基础知识回顾
首先，我们简单回顾一下三角函数的基本概念和诱导公式的定义：
1. 基本三角函数：
- 正弦函数：\( \sin x \)
- 余弦函数：\( \cos x \)
- 正切函数：\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
2. 诱导公式：
诱导公式是将任意角度转化为特殊角度（如 \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ\) 等）的一种方法。常见的诱导公式包括：
- \( \sin(90^\circ - x) = \cos x \)
- \( \cos(90^\circ - x) = \sin x \)
- \( \sin(-x) = -\sin x \)
- \( \cos(-x) = \cos x \)
- \( \sin(180^\circ - x) = \sin x \)
- \( \cos(180^\circ - x) = -\cos x \)
这些公式是解决复杂三角函数问题的基础，接下来我们将通过具体的练习题来巩固这些知识。
二、练习题及答案解析
练习题 1：
已知 \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求 \( \sin 60^\circ \) 的值。
解题思路：
根据诱导公式 \( \sin(90^\circ - x) = \cos x \)，可以推导出 \( \sin 60^\circ = \cos 30^\circ \)。而 \( \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 \)，因此：
\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
答案：\( \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
练习题 2：
若 \( \cos x = \frac{1}{2} \)，且 \( x \in [0^\circ, 180^\circ] \)，求 \( \sin x \) 的值。
解题思路：
利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)，可以计算出：
\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
因此：
\[
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
由于 \( x \in [0^\circ, 180^\circ] \)，结合 \( \cos x = \frac{1}{2} \) 可知 \( x \) 在第一象限，故 \( \sin x > 0 \)。最终结果为：
\[
\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
答案：\( \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
练习题 3：
化简表达式 \( \sin(180^\circ - x) + \cos(90^\circ - x) \)。
解题思路：
根据诱导公式：
- \( \sin(180^\circ - x) = \sin x \)
- \( \cos(90^\circ - x) = \sin x \)
因此：
\[
\sin(180^\circ - x) + \cos(90^\circ - x) = \sin x + \sin x = 2\sin x
\]
答案：\( \boxed{2\sin x} \)
练习题 4：
已知 \( \tan x = \sqrt{3} \)，求 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 的值。
解题思路：
由 \( \tan x = \sqrt{3} \)，可知 \( x = 60^\circ \) 或 \( x = 240^\circ \)（在单位圆中）。结合正弦和余弦的定义，可以得出：
- 当 \( x = 60^\circ \) 时，\( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos x = \frac{1}{2} \)
- 当 \( x = 240^\circ \) 时，\( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos x = -\frac{1}{2} \)
答案：
\[
\boxed{\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos x = \pm \frac{1}{2}}
\]
三、总结
通过以上练习题，我们可以看到，三角函数的诱导公式在解决实际问题时具有重要作用。无论是化简表达式还是求解未知量，都需要灵活运用这些公式。希望大家能够通过反复练习，熟练掌握这些技巧，并在考试或日常学习中游刃有余。
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