在数学学习中，对数是一个重要的概念，它不仅在理论研究中有广泛的应用，在实际问题解决中也扮演着不可或缺的角色。本文将详细介绍对数的基本性质及其运算规则，并通过具体的练习题帮助读者巩固所学知识。
一、对数的基本定义
对数是对指数运算的一种逆运算。如果 \(a^b = N\) （其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），那么 \(b\) 就叫做以 \(a\) 为底 \(N\) 的对数，记作 \(b = \log_a N\)。这里，\(a\) 称为底数，\(N\) 称为真数。
例如：
- \(\log_2 8 = 3\)，因为 \(2^3 = 8\)
- \(\log_{10} 100 = 2\)，因为 \(10^2 = 100\)
二、对数的主要性质
1. 对数恒等式：若 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)，则 \(\log_a a = 1\) 和 \(\log_a 1 = 0\)。
2. 换底公式：对于任意正数 \(M, N\) 和不同的正数 \(a, b\) （\(a, b \neq 1\)），有 \(\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}\)。
3. 加法法则：\(\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\)。
4. 减法法则：\(\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N\)。
5. 幂法则：\(\log_a (M^n) = n \cdot \log_a M\)。
三、典型例题解析
题目 1：
计算 \(\log_3 27 + \log_3 9\)
解析：
根据对数的加法法则，\(\log_3 27 + \log_3 9 = \log_3 (27 \times 9)\)。计算得 \(27 \times 9 = 243\)，而 \(3^5 = 243\)，所以原式等于 \(\log_3 243 = 5\)。
题目 2：
求解方程 \(\log_2 x + \log_2 (x+3) = 4\)
解析：
利用对数的加法法则，可以合并为 \(\log_2 [x(x+3)] = 4\)。这意味着 \(x(x+3) = 2^4 = 16\)。解这个二次方程 \(x^2 + 3x - 16 = 0\)，得到 \(x = 4\) 或 \(x = -7\)。由于对数函数的定义域要求真数大于零，因此舍去负值，最终答案为 \(x = 4\)。
四、练习题
1. 计算 \(\log_5 125 - \log_5 5\)
2. 解方程 \(\log_3 (x-1) + \log_3 (x+1) = 2\)
3. 若 \(\log_a b = c\)，试表达 \(\log_a b^2\) 和 \(\log_a \sqrt{b}\)。
通过以上内容的学习与练习，相信您已经掌握了对数运算的基础知识及其应用方法。继续深入探索更多高级技巧，定能更进一步提升数学能力！
